Experimento aleatorio

En estadística, el proceso de generar u observar datos se refiere al concepto de experimento. Los experimentos pueden ser determinísticos o aleatorios con la diferencia que en los determinísticos estamos seguros de que pasará y en los aleatorios no. Sin embargo en este caso, son los experimentos aleatorios los que nos interesan, ya que en ellos está presente la incertidumbre.

Experimento aleatorio

Es aquel que satisface 3 condiciones fundamentales:

1. Antes de realizarse el experimento, se conocen de antemano todos los resultados posibles.
2. Aunque se conozcan todos los resultados posibles, no se sabe exactamente que resultado se va a obtener.
3. El experimento puede repetirse n veces de forma independiente y bajo las mismas condiciones, en donde no existe un patrón reconocible en los resultados.

El ejemplo típico de un experimento aleatorio es el lanzamiento de una moneda, en donde conocemos de antemano los resultados posibles (cara o sello), pero no sabemos con exactitud cuál se va a obtener, pudiendo repetir el experimento las veces que queramos.

Espacio muestral

Conjunto de todos los posibles resultados de un experimento aleatorio. En otras palabras, representa el conjunto universo en la teoría de conjuntos, denotado por Ω.

Punto muestral

Elemento del espacio muestral.

Diagrama de árbol

Representación gráfica de un experimento que consta de varios pasos donde cada paso tiene distintas maneras de ser llevado a cabo. Por ejemplo, si lanzamos 2 monedas se tiene:

Por otra parte, podemos calcular el número de puntos muestrales con el principio fundamental del conteo que dice:

Si un experimento puede realizarse en varias etapas, en donde la primera etapa puede ejecutarse de n1 maneras diferentes, la segunda de n2 maneras diferentes y así sucesivamente hasta la última etapa, entonces el experimento tendrá n1・n2・n3 ... puntos muestrales.

En el lanzamiento de 2 monedas, la primera etapa tiene 2 maneras de ejecutarse y la segunda también, por lo que se tienen 2・2 = 4 puntos muestrales.

Evento

Subconjunto del espacio muestral. Puede ser simple si el evento contiene un solo punto muestral o compuesto si contiene dos o más. Veamos unos ejemplos:

Experimento	Espacio muestral	Evento	Puntos muestrales	Tipo de evento
Lanzamiento de una moneda	Ω = {cara, sello}	A = {Obtener una cara}	A = {cara}	Simple
Lanzamiento de dos monedas	Ω = {CC, CS, SC, SS}	B = {Obtener al menos un sello}	B = {CS, SC, SS}	Compuesto
Lanzamiento de un dado	Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}	C = {Obtener un número par}	C = {2, 4, 6}	Compuesto
Aplicación de un examen	Ω = {Aprobado, Reprobado}	D = {Reprobar el examen}	D = {Reprobado}	Simple

Por otra parte, como los eventos son subconjuntos del espacio muestral, podemos aplicar el álgebra y las propiedades de la teoría de conjuntos.

Veamos un ejemplo, tomado de Walpole, Myers, Myers y Ye, 2012, p.43.

Se contrata a una empresa de ingenieros para que determine si ciertas vías fluviales en Virginia, Estados Unidos, son seguras para la pesca. Se toman muestras de tres ríos y se tienen los siguientes eventos.

Espacio muestral

Ω = {PPP, PPN, PNP, PNN, NPP, NPN, NNP, NNN }

Siendo P= seguro para la pesca y N= no seguro para la pesca.

Eventos

- Al menos dos ríos son seguros

  A = {PPP, PPN, PNP, NPP}

- El primer río de la muestra no es seguro

  B = {NPP, NPN, NNP, NNN}

- El primer río no es seguro o dos de ellos o más si lo son

  B ∪ A = {PPP, PPN, PNP, NPP, NPN, NNP, NNN}

- El primer río no es seguro y al menos dos de ellos si lo son

  B ∩ A = {NPP}

- Al menos dos ríos son seguros menos aquellos puntos en donde el primer río no es seguro

  A - B = {PPP, PPN, PNP}

- Uno o ninguno de los ríos no es seguro

  A' = {PNN, NPP, NPN, NNN}

Referencias

Walpole, R., Myers, R., Myers, S., & Ye, K. (2012). Probabilidad y estadística para ingeniería y ciencias. Novena Edición. Pearson.